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Exercícios resolvidos de provas sobre integrais indefinidas utilizando o método de substituição ou mudança de variáveis

Existem exercícios em integrais ,que não são possíveis de serem resolvidos, sem antes utilizar o método da substituição (que vamos aprender agora) ou o método de integração por partes (que veremos em outras ocasiões) .


Inúmeras vezes os professores passam essa técnica que por sinal é valiosíssima para o estudo de cálculo, mas os alunos ficam com dificuldades em utilizar na hora H, principalmente quando a gente tem a integral na prova e não sabe que método utilizar,quando utilizar e por quê utilizar esse e não o outro.


Digo isso por que, quando o professor passava métodos como : o método de substituição e o método de integração por partes, eu chegava na prova e o professor simplesmente colocava por exemplo :

Calcule a integral dada 
.
Na maioria das vezes , eu não sabia resolver..porque era complicado pra mim, entender que ferramenta usar ,até que um dia eu passei a perguntar o por quê disso e não daquilo e aí o conhecimento foi fluindo naturalmente .



Dicas do velho Maromba

  • Se você analisar,no estudo de integrais indefinidas, temos 3 teoremas que são : de uma contante que multiplica uma função, o teorema da soma e o da diferença (ver aula anterior http://factosfera.blogspot.com.br/search/label/C%C3%A1lculo%201 )...mas aí a gente vê que tá faltando outras operações como o produto de funções e ou a divisão das mesmas.
  •  Tendo em conta o item anterior, a partir do momento que não temos o produto ou divisão de funções nos teoremas, surgiu a necessidade de criar um método que resolvesse essa deficiência que os teoremas tinham , de não resolverem praticamente todos os problemas que tivessem outras operações matemáticas como o produto de funções , bem como a divisão das mesmas ...e aí surgiu o método da substituição, para resolver integrais que contenham produto ou divisão de funções , bem como integrais que envolvem raízes . Ela consiste em introduzir uma nova variável que é a variável u, que ao derivar (du), encontramos uma função parecida com a outra.
Calcule as integrais

Exercício 1

Solução

Neste exemplo,temos a multiplicação de duas funções e, em todos os casos em que você se deparar com uma integral que envolve um produto, temos que escolher o u , como sendo a função que ao derivar , vamos encontrar uma variável de mesmo grau (expoente ), que tem a outra função .
,
Podemos notar que ao derivar o u, encontramos uma função du com o mesmo grau da outra, que no caso é x ao quadrado....depois disso,a gente pode notar que para o du ser igual a outra função, temos que passar o passar o 6, pra ser um denominador de du e com isso a gente da um grande passo.

Substituindo na integral, vem

Sempre que a gente for tirar uma variável da integral(x,y,z,u,v etc), tem que somar um no expoente e botar esse mesmo expoente que foi somado no denominador

Como essa integral é indefinida , temos que somar a constante de integração C

Exercício 2


Vendo esse tipo de problema, a gente tem que fazer duas perguntas .

Dá pra utilizar o método da substituição ? sim.

Por quê ? por que temos um produto entre duas funções e existe uma função entre essas duas que se a gente chamar de u e derivar vamos encontrar o mesmo expoente da outra função e aí é só usar o que a gente aprendeu no Exercício 1

Solução

Neste exemplo,temos a multiplicação de duas funções ( o x ao quadrado multiplicando outra função que está na raiz,que vamos chamar de u) e em todos os casos em que você se deparar com uma integral que envolve um produto, temos que escolher o U , como sendo a função que ao derivar , vamos encontrar uma variável de mesmo grau (expoente ), que tem a outra função .
;
Podemos notar que ao derivar o u, encontramos uma função du com o mesmo grau da outra, que no caso é x ao quadrado....depois disso,a gente pode notar que para o du ser igual a outra função, temos que passar o passar o 9, pra ser um denominador de du.
Substituindo na integral, vem
Pra melhor entendimento vamos passar o x ao quadrado ,pra ficar ao lado de dx
Portanto

Agora podemos pegar o Índice e aplicar a regra básica da radiciação ( toda variável sempre tem expoente 1, só que não se coloca, mas ele está lá esperando que a gente faça alguma coisa com ele).
Continuando ( não esqueçam nunca dessa regra de radiciação)
Sempre que a gente for tirar uma variável da integral(x,y,z,u,v etc), tem que somar um no expoente e botar esse mesmo expoente que foi somado no denominador

Como o 4/3 tá dividindo ,podemos passar ele no outro lado e multiplicar...para isso devemos sempre inverter o numerador e o denominador, trocando de posição
Pra ficar um pouco mais lindo , podemos dividir o 3 e o 36 por 3, ficando :
Exercício 3
Solução

Neste exemplo,temos a multiplicação de duas funções ( o x à terceira multiplicando outra função que é trigonométrica que tem como angulo o x à quarta + 2 , que vamos chamar de u) e, em todos os casos em que você se deparar com uma integral que envolve um produto, temos que escolher o u, como sendo a função que ao derivar , vamos encontrar uma variável de mesmo grau (expoente ), que tem a outra função.
;
Podemos notar que ao derivar o u, encontramos uma função du com o mesmo grau da outra, que no caso é x à terceira....depois disso,a gente pode notar que para o du ser igual a outra função, temos que passar o passar o 4, pra ser um denominador de du.

Para melhor entendimento vamos passar o x à terceira ,pra ficar ao lado de dx,refazendo a integral (nesse caso, a ordem não vai alterar o resultado )

Substituindo na integral, vem

Utilizando a tabela de integrais , a gente tem que a integral de cos u, é sen u
OBS: a ideia por trás da regra da substituição é substituir uma integral relativamente complicada por uma mais simples, mudando-se da variável original x para uma nova variável u, que é uma função de x.

Exercício 4


Solução

Neste exemplo,temos a divisão de duas funções e, em todos os casos em que você se deparar com uma integral que envolve uma divisão (Quociente), temos que escolher o u, como sendo a função que ao derivar, a sua variável x vai ser igual com a outra função ou seja, vamos encontrar uma variável de mesmo grau (expoente ), que tem a outra função.
;

Substituindo na integral, vem
veja que xdx é igual a du, então fica :

Aplicando uma regra básica da matemática ,vem


Exercício 5

Solução

Muita gente erra esse exercício de integral que por sinal é muito fácil, por pegar o problema e resolver diretamente como se na tabela de integrais (ver seção anterior) tivesse integral desse jeito.

Sabendo que não temos essa integral na tabela , devemos procurar encontrar uma solução que só será possível utilizando o método de substituição.

Vamos chamar de u , o 3x (que é o angulo da função cosseno ) que o problema fica resolvido .
;

Substituindo na integral, vem


Exercício 6

Solução
Seguindo o mesmo raciocínio dos exercícios anteriores, vem que :

Substituindo na integral

Como a integral de uma exponencial é ela mesma ou seja, não muda nunca...podemos concluir que :

Exercício 7

Solução

Neste exemplo,temos a multiplicação de duas funções e podemos notar que temos que ao escolher o u , como sendo a função que tá dentro da raiz,ao derivar ela vamos encontrar uma variável de mesmo grau (expoente ), que tem a outra função.

Refazendo a integral

Substituindo



Exercício 8

Solução

-temos a multiplicação de duas funções,e sabemos que se a gente derivar uma das funções e encontrar um valor de x igual da outra função, podemos aplicar a técnica, então :

Depois de achar o u e du vamos substituir na integral dada,mas antes disso vamos trocar a posição do 4x pra facilitar a visualização

Agora sim, vamos lá substituir essa bagaça rsrs

Pela tabela, a integral de cos u é igual a sen u,então:

Exercício 9

Solução

-temos a divisão de duas funções,e sabemos que se a gente derivar uma das funções e encontrar um valor de x igual da outra função, podemos aplicar a técnica, então :

Vamos escolher o nosso u como sendo o Denominador

Substituindo o u e du na integral, vem :

Consultando a tabela de integrais a gente pode notar que 1/u é igual ao ln de u.

Exercício 10
Solução

-temos a multiplicação de duas funções,e sabemos que se a gente derivar uma das funções e encontrar um valor de x igual da outra função(mesmo grau), podemos aplicar a técnica, então :
A gente pode notar que numa multiplicação de funções o u sempre terá o x com um grau maior que a outra função.

Substituindo o u e du na integral, vem :

Sabendo que a integral de sen u é igual a -cos u, teremos :

Continuando...
Exercício 11

Solução

-Novamente temos a multiplicação de duas funções,e sabemos que se a gente derivar uma das funções e encontrar um valor de x igual da outra função(mesmo grau), podemos aplicar a técnica, então :

Substituindo o u e du na integral, vem :

Continuando...
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Comentários

  1. gostaria de sabe se usando a integral por partes eu chegaria tbm ao mesmo resultado (so que mais trabalhoso) ou nesses caso so da pra usa substituição???? otimo trabalho com o site me ajuda muito^^

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  2. Eu queria mt salvar o arquivo pra fazer os exercícios e depois conferir ... seria mt legal que vc disponibilizasse em PDF ...

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Okay Leticia !
      Obrigado pelo feedback...Vamos trabalhar para isso

      Excluir
  3. Muito agradeço, porque eu ja terminei tudo mais facilmente e espero até ao proximo exercícios, Abração......

    ResponderExcluir
  4. Muito agradeço, porque eu ja terminei tudo mais facilmente e espero até ao proximo exercícios, Abração......

    ResponderExcluir
  5. Obrigado, graças a você consegui compreender o assunto mais claramente

    ResponderExcluir
  6. Muito legal os exercícios, me ajudou bastante, meus parabéns à equipe!

    ResponderExcluir

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Exemplo: Calcule o fatorial dos números 0,1,2,3,4 e 5 .

Solução

0! = 1
1! = 1
2! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120.

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