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Derivada da função exponencial natural e exercícios resolvidos de provas

A função  exponencial natural, denotada ex ou exp(x) é a função exponencial cuja base é o número de Euler (um número que vale aproximadamente 2,71828) e ela é uma função inversa da função logarítmica natural denotada por ln.

Como calcular a derivada dessa função  ?

A derivada de uma função exponencial em relação a x é igual a ela mesma ,ou seja :


Quando u = g(x), teremos uma função composta e nesse caso temos que :

Exemplo 1

  Solução

Temos o produto (multiplicação) de duas funções e neste caso , vale  a regra do produto.

Se f(x) = a.b , f '(x) =a'.b + a.b'

Finalizando o exercício , teremos :

Exemplo 2

  Solução

Sempre que temos uma raiz , a melhor opção é reescrever ela

Aplicando a regra da cadeia , teremos :

sabendo que f(x)= u^k, a sua derivada  f '(x) será : f '(x)= k. u^k-1 .u' , então :

lembra que : k^-p é mesma coisa que 1/ k^p ? pois é, vamos precisar desse argumento

Continuando o exercício , vem que :

Exemplo 3
   Solução

Temos uma constante dividindo uma função e neste caso , temos que utilizar a regra do recíproco.

Essa regra do  recíproco afirma que : se f(x)= 1/k , f '(x) será : f '(x)=( -1.k') / k^2

Obs: a derivada de uma constante é igual a zero

Exemplo 4

   Solução

O primeiro passo a realizar , é reescrever a função dada

Agora sim, vamos lá diferenciar essa função...

Continuando...

O exercício já está ficando bonito né ? ,acho que sim, mas nem tanto "_"
Agora sim, podemos dar o bote 

Exemplo 5
   Solução

A gente sabe que a derivada da diferença é igual a diferença das derivadas 

Continuando...

Agora sim, o exercício está ficando bacana .

Finalizando , teremos :

Exemplo 6
   Solução

Sempre que temos uma raiz , a primeira coisa a fazer é reescrever a função
Podemos livremente notar que :

Partindo desse princípio , vem que :
Continuando..

Desenvolvendo a função, teremos :

Agora sim. Podemos finalizar a dança

Exemplo 7

   Solução
Primeiramente , vamos calcular o u'
Podemos concluir que a derivada de u será :

Agora sim , vamos pegar o resultado de u' e substituir 

Exemplo 8
   Solução
Primeiramente , vamos calcular o u'

Já que temos uma multiplicação de funções , vamos utilizar a regra do produto
Agora sim , vamos pegar o resultado de u' e substituir 

Tenho 3 observações para passar :


Exercícios propostos 

Comentários

  1. Oi Boa tarde!
    Com relação ao ex. 8, quando temos uma função " e^u " eu posso aplicar para y'= a^u ln(a) . u', então como posso diferenciar a aplicação de y'= e^u . u'?

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Solução

0! = 1
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