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Exercícios resolvidos de provas com comentários sobre distribuição binomial

"Em nossas loucas tentativas, renunciamos ao que somos pelo que esperamos ser".William Shakespeare

Antes de entrar no assunto principal vamos entender o que é fatorial de um número que tem como simbolo o n!

Na matemática, o fatorial de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida por Christian Kramp em 1808.

Exemplo: Calcule o fatorial dos números 0,1,2,3,4 e 5 .

Solução

0! = 1
1! = 1
2! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120.

Observação: O zero não entra nesta definição, pois se multiplicarmos todo o produto de n até 1 por zero teremos zero como resultado.


O que é uma distribuição binomial?

Em estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade do número de sucessos numa sequência de n tentativas.

O que devemos saber sobre essa distribuição?

Vamos entender as caraterísticas de um experimento binomial

Um experimento binomial é um ensaio estatístico que tem as seguintes propriedades:

O experimento consiste em n ensaios repetidos.

Cada ensaio pode resultar em apenas dois resultados possíveis. Chamamos um desses resultados um sucesso e outro, um fracasso.

A probabilidade de sucesso, que denotaremos por p é a mesma para cada ensaio. A probabilidade de falha será denotada por q=1-p.

Os ensaios são independentes; isto é, o resultado de um ensaio não afeta o resultado em outros ensaios.

Mas o que é um ensaio independente?

Um ensaio em um experimento é independente se a probabilidade de cada resultado possível não muda de ensaio para ensaio. Por exemplo, se você lança uma moeda para o alto cinquenta vezes, cada lançamento é um ensaio independente, porque o resultado de um lançamento (cara ou coroa) não afeta a probabilidade de se obter cara ou coroa no próximo lançamento.

Matematicamente 

Onde :

n = número de experimentos executados;

p = é o valor da probabilidade do que se quer que aconteça, ou seja, é a probabilidade de sucesso.

k = é o numero de vezes que a pergunta do exercício pede que ocorra.

Exemplo:calcule a probabilidade de sair duas caras no lançamento de 3 moeda...o número de vezes que o exercício pede para que ocorra cara é o nosso k então : k=2

q = probabilidade de fracasso.

Exercício 1

Suponha que numa linha de produção, a probabilidade de se obter uma peça defeituosa é igual a 0,1. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas . Qual é a probabilidade de se obter :

1.1 uma peça defeituosa ?
1.2 nenhuma peça defeituosa ?
1.3 duas peças defeituosas ?
1.4 no mínimo duas peças defeituosas?
1.5 no máximo duas peças defeituosas ?

Solução

A 1ª coisa a fazer é saber o número de n tentativas,a probabilidade de sucesso(p) e posteriormente o fracasso(q=1-p),ou seja n =10, p= 0,1 e q = 1-0,1 = 0,9.

1.1-para calcular a probabilidade de uma peça defeituosa,a gente tem que saber que o nosso k(número de sucessos nos n experimentos)vai ser igual a 1 porque a gente quer saber somente a probabilidade de sair uma peça e só, então : como k=1,p=0,1 e n= 10 teremos:

Substituindo na Fórmula , vem :

Continuando...

1.2- Já que vamos calcular a probabilidade para nenhuma peça defeituosa,o nosso k vai ser igual a 0(nenhuma peça=nada)então : n=10,k=0,p=0,1 e q= 1-0,1=0,9
 
1.3- o nosso objetivo é calcular a probabilidade para duas peças defeituosas,isso significa que o nosso número de sucesso (o que a gente deseja calcular) é igual a k=2, então : como n=10,p=0,1 e q=0,9 teremos:

1.4- Sabendo que vamos calcular a probabilidade de ter no mínimo 2 peças defeituosas , quer dizer que a gente não quer saber a probabilidade para nenhuma ou uma peça defeituosa.tendo em conta que a gente quer no mínimo 2 peças, podemos concluir que a probabilidade de sucesso será a probabilidade para k=2+k=3+k=3+k=4+k=5+k=6+k=7+k=8+k=9 + k=10. 

A gente pode notar que calculando a probabilidade desses 8 ks vai dar muito trabalho então , a gente pode calcular o que não quer que é o k=0 e k=1,porque o somatório do que a gente quer e o que a gente não quer tem que ser igual a 1 (100%). Quero + não Quero=1 ou seja: 1-não Quero=Quero.

Mas a probabilidade para k=0 e k=1 a gente já calculou nos exercícios anteriores ou seja:0,3486 e 0,3874 respectivamente. Então:
Ou seja :

1.5- Finalmente a gente quer saber a probabilidade de no máximo ter 2 peças defeituosas . isso quer dizer que o nosso interesse está em k=0 + K=1 + K=2. Sempre que você ver na prova dizendo no máximo x, quer dizer que é do x para zero.

 A probabilidade para x=0,x=1 e x=2 a gente já fez anteriormente ,um Ctrl c+ Ctrl v basta. então:

OBS: Para você fazer fácil na calculadora siga a fórmula :

Digite o valor de n, clique em nCr, digite o valor de k. depois de obter o valor, multiplique com o p elevado a k e o 1-p elevado a n-k .

Exercício 2

Considere que a probabilidade de nascimento de homens e mulheres é igual.
Determine a probabilidade de um casal com 6 filhos ter 4 homens e 2 mulheres.

Solução

A 1ª coisa a fazer é saber o número total do experimento(n) que neste caso será o número total de filhos,a probabilidade de sucesso(p) e posteriormente o fracasso(q=1-p),ou seja n= 6 filhos.

Mas o exercício não deu a probabilidade de sucesso(P)nem a probabilidade de fracasso (q), mas passou pra gente algo extremamente interessante, que a probabilidade de nascimento de homens e mulheres é igual.Se é igual então temos 50% de sucesso(50% de acontecer) e 50% de fracasso(50% de não acontecer)..nesse caso é como se fosse em uma moeda,sempre teremos 50% de sair cara ou coroa.
Resumindo: n=6,p=0,5 e q=0,5
Depois de encontrarmos os valores de n,p e q podemos prosseguir :
A probabilidade para o casal ter 4 homens e 2 mulheres será :

Substituindo na fórmula, teremos :
A probabilidade para o casal ter 4 homens e duas mulheres é de 23,44%.

Se você quiser calcular a média,variância e desvio padrão utilize as fórmulas : Média(x)=n.p ; var(x)=n.p.q ; Dp= raiz da variância.

Exercício 3

Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual é a probabilidade de saírem 8 caras. 

Solução

Antes de tudo, devemos saber o número de n tentativas,a probabilidade de sucesso(p) e posteriormente o fracasso(q=1-p).
Temos que n=20 (número total de lançamentos) mas tá faltando a probabilidade de sucesso(p) e a probabilidade fracasso(q=1-p).
E agora ? não estressa , sempre que a gente fala de uma moeda, a probabilidade de acontecer(sucesso) e de não acontecer(fracasso) é 0,5 ou 50%.E do mesmo jeito acontece com um dado que sempre será p=1/6 desde que não fale no exercício que ele é um dado viciado.
Resumindo: n=20,k=8,p=0,5 e q=0,5

A probabilidade de saírem 8 caras será :
 
Substituindo os valores teremos :

Fazendo pela calculadora :

Digite o valor de n=20, clique em nCr, digite o valor de k=8. depois de obter o valor, multiplique com o p=0,5 elevado a k=8 e o q elevado a 12.



Exercício 4

Uma prova tipo teste tem 50 questões independentes. cada questão tem 5 alternativas. Apenas uma das alternativas é a correta. Se um aluno resolve a prova respondendo a esmo as questões, qual é a probabilidade de tirar nota 5 ?

Solução

Essa questão é um grande quebra cabeça das galaxias,mas vamos lá:

A primeira coisa a fazer é saber o número total do experimento(n) que neste caso vai ser o número total de questões n=50.

A Segunda coisa a saber é a probabilidade de sucesso(p)que neste caso vai ser p=1/5, sabe porquê? supondo que a galera do bonde da stella vai fazer uma prova. Só terá sucesso(acerto)em uma das 5 alternativas existentes...do mesmo jeito ,se fosse 2 alternativas corretas a probabilidade seria de p=2/5. Já que p=1/5 o q=1-1/5=4/5.

O nosso número de sucessos(k)vai ser k=25, porque se a gente fosse calcular a probabilidade para tirar nota 10 séria k=50(acertando todas as questões), mas como o nosso objetivo é calcular nota 5(metade das questões)o nosso k vai ser igual a 25.

Resumindo:n=50, k=25, p=1/5 e q=4/5


Substituindo, vem :

     
Exercício 5

Suponha que a probabilidade de um casal ter um filho com cabelos loiros seja 1/4.Se houverem 6 crianças na família , qual é a probabilidade de que metade delas tenham cabelos loiros.

Solução

Cara, para resolver esse trem, a gente precisa entender o seguinte :

-A probabilidade de sucesso é p=1/4 então , q=1-p=3/4;

-o número de vezes que a pergunta pede quer que ocorra o sucesso k,ou seja,o que a gente quer saber é a metade das 6 crianças então,k=6/2=3.

Resumindo:n=6,p=1/4,q=3/4 e k=3

Substituindo na fórmula , teremos:


Continuando...


Exercício 6

Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de 15 itens aleatoriamente de um processo de fabricação sabendo que produz 85% de itens aceitáveis.

Qual é a probabilidade de que 10 dos itens extraídos sejam aceitáveis ? 

Solução

Vamos entender o seguinte :

-A probabilidade de sucesso é p=0,85 então , q=1-p=0,15;

-o número de vezes que a pergunta pede quer que ocorra o sucesso k,ou seja,o que a gente quer saber é a probabilidade dos 10 itens serem aceitáveis então: k=10.

Resumindo:p=0,85,q=0,15 ,k=10 e n=15.


Substituindo na fórmula , teremos:


Exercício 7

A probabilidade de que um carro , indo de São Paulo a Lins tenha, no decorrer da viagem , um pneu furado é 0,05. Achar a probabilidade de que entre 10 carros ,indo todos de São Paulo a Lins exatamente um carro tenha um pneu furado .

Solução

Para qualquer tipo de exercício que fala de distribuição binomial ,a primeira coisa a fazer é achar o número total(n) da situação que a gente tá resolvendo que neste caso vai ser n=10 carros.

-Se a nossa probabilidade de um pneu furar é p=0,05 então q=1-p=0,95.

-agora vamos responder uma pergunta, o que a gente deseja calcular ? a gente deseja calcular a probabilidade de que exatamente um carro tenha um pneu furado então : k=1.

Resumindo : n=10,p=0,05,q=0,95 e k=1.

Fórmula

Substituindo

Exercício 8

Registros hospitalares mostram que dos doentes que sofrem de uma determinada doença, 7 5% morrem da doença. Qual é a probabilidade de que 6 pacientes selecionados aleatoriamente,4 consigam se  recuperar?

Solução

Este é um binômio distribuição, pois há apenas dois resultados (o paciente morre, ou não).

Deixe X = número que recuperar.

Aqui, n = 6 , x =4 , p = 0. 2 5 (sucesso, ou seja, eles vivem), q = 0. 7 5 (falha, ou seja, eles morrem).

A probabilidade de que 4 consigam se recuperar:

Resumindo : n = 6 ,k=4 ,p=0,25 e q = 0,75
Substituindo os valores , vem :

Continuando ...



Exercício 9

Uma fabricante de pistões de metal que se encontra em São Paulo-BR ,tem em média 12% de seus pistões  rejeitados porque são ou acima ou abaixo. Qual é a probabilidade de que em um lote de 10 pistões contenha  não mais do que 2 rejeições?  

Solução 

Seja n=10 ( total de pistões ) , q=0,88, p=0,12 teremos :

 Como as rejeições não podem passar de duas ,significa que vamos calcular a probabilidade para nenhuma rejeição, uma rejeição e duas rejeições e posteriormente fazer o somatório.

Cálculo da probabilidade para nenhuma rejeição
Substituindo

Cálculo da probabilidade para uma rejeição
Cálculo da probabilidade para duas rejeições

Então ,a probabilidade de conseguir não mais do que 2 rejeições será :

Substituindo os valores , vem que :

Assim, a probabilidade para obter não mais do que duas rejeições é de 0,89131 ou 89,31%

Exercício 10

Num teste tipo certo/errado, com 50 questões, qual é a probabilidade de que um aluno acerte 80% das questões, supondo que ele as responda ao acaso  ?

Solução

Cada resposta tem probabilidade de sucesso 0,50, porque estamos perante um exercício certo/errado. Desse modo, o número de respostas corretas(x), tem distribuição binomial com n = 50 e p = 0,50. 

Acertar 80% das questões significa: 0,8*50 = 40 questões  que vai ser o nosso k .
Resumindo : n=50, k=40,p=0,5, q=0,5

Também pode resolver pela calculadora 


FAÇA A PROVA OU  SIMULADO 

Questão 1

Uma moeda não viciada é lançada 6 vezes . Determine :

a) A probabilidade de exatamente duas caras ocorrerem

b) A probabilidade de ocorrerem pelo menos 4 caras

Questão 2

Um time D tem 2/3 de probabilidade de vitória sempre que joga . Se esse time disputar 4 partidas ,encontre a probabilidade desse time vencer :

a) pelo menos uma partida .

b) mais que a metade das partidas
SOLUÇÃO

Sê forte e corajoso


Comentários

  1. Primeiro que tudo obrigado!
    Segundo, tenho duvidas em relação ao exercício nº 9, pelas minhas contas a probabilidade de (x<=2)= 0,1087, ou seja, 10,87%

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. No lado esquerdo da publicação tem o nosso e-mail do google ....envia uma foto das contas que você fez para colocarmos em análise ..Obrigado

      Excluir
    2. Pela resposta do Anônimo, ele deve ter trocado os valores de p e q. Veja que o valor apresentado é o complementar da resposta correta.

      Excluir
  2. Boa tarde, alguém sabe calcular o seguinte: Cerca de 4,4% dos acidentes fatais com automóveis são causados por pneus defeituoso. Se um estudo de segurança em uma rodovia começa com a escolha aleatória de 750 casos de acidentes fatais com veículos motorizados, estime a probabilidade de exatamente 35 deles terem sido causados por pneus defeituosos.

    ResponderExcluir
  3. A Oms Prevê que em determinadas operações cirúrgicas a probabilidade de fracasso seja de 0, 9. Se num hospital se realizarem diariamente 10 operações deste tipo, determine:
    A) os parâmetros q
    B) as funções de probabilidade e de distribuição
    C) a probabilidade de que em cada dia só sejam as 4 as operações fracassadas.

    ResponderExcluir
  4. Boa noite! Alguém pode me ajudar nessa questão?
    Suponhamos que 80% dos indivíduos de uma população sejam imunes a certa doença infecciosa. Se sorteamos 5 individuo desta população (amostra) qual é a probabilidade de que exatamente 5 individuo sejam imunes?

    ResponderExcluir
  5. Não entendi por que nessa questão 1 ( Uma moeda lançada 6 vezes. Letra B - a probabilidade de cair pelo menos 4 vezes 4 caras ) por que fizeram esse calculo 22/64. Alguém consegue explicar?

    ResponderExcluir

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