Pular para o conteúdo principal

Exercícios resolvidos de provas sobre integrais por partes

A nossa viagem começa na Definição

O método de integração por partes é uma técnica de integração utilizada para dar solução aos exercícios de integrais que envolvem uma multiplicação de funções.

Em que exercícios devemos aplicar esse método?


O método de integração por partes deve ser aplicado em exercícios só e somente se, temos uma multiplicação de duas funções nos casos em que mesmo derivando uma das funções , a sua derivada não será de nenhum jeito igual a outra função.

Exemplo


Temos a multiplicação de duas funções .Utilizando o método de substituição, se a gente chamar de u a nossa variável x , ao derivar ela teremos : u=x , du = dx

O nosso du é totalmente diferente da outra função exponencial elevada a x.

A gente pode notar que não tem como sumir com uma das funções utilizando a substituição de variáveis ou seja , não tem como derivar a função exponencial e encontrar o x, bem como do mesmo jeito não tem como como derivar o x e encontrar a função exponencial.

O que devemos saber afinal?


O método de integração por partes é uma ferramenta importante no estudo de cálculo mas devemos sempre ter alguns cuidados como :

  1. Não devemos utilizar esse método em integrais que envolve uma divisão de funções,
  2. No exercício dado pelo professor, devemos escolher adequadamente o u senão já era; 
  3. O nosso dv sempre será a função mais complicada da integral; 
Fórmula de integração por partes


A integral de udv é igual a uv menos a integral de vdu.

Como este processo implica em separar o integrando em duas partes : u e dv,é importante a escolha adequada de u ,utilizando sempre a tabela LIATE onde :
Sempre que a gente tiver a multiplicação de duas funções que estão ali na tabela, as prioridades para escolher o u vai da esquerda a direita.
Durante os exercícios irei escrever o v em letra maiúscula para não ser confundido com o u.

Calcule as integrais dadas.



EXERCÍCIO 1


- temos que escolher o u e a outra função vamos chamar de dv



Já que o u=x ,o dv será a outra função
  
  • O v sempre vai ser igual a integral de dv; 
  • A integral de uma exponencial é ela mesma.
Substituindo na fórmula

EXERCÍCIO 2

- temos que escolher o u e a outra função vamos chamar de dv.
De acordo com a nossa tabela acima, o u tem que ser o x.

Se u=x , o nosso dv tem que ser o cos(x)
Substituindo na fórmula
De acordo com a tabela, a integral de sen(x) é -cos(x)

EXERCÍCIO 3

- temos que escolher o u e a outra função vamos chamar de dv
A função trigonométrica vamos chamar de dv
Agora que temos o dv vamos integra-lo para achar o v
Se fosse integral de cosx simplesmente poderíamos encontrar o senx , mas a gente não tem essa integral de cos(5x) na tabela, então temos que aplicar o método de substituição nela.

Agora vamos passar o 5 no outro membro
Substituindo as variáveis u e du na integral ,vem:
Já que a integral de cos u é sen u , teremos:
Depois desse trabalhão,agora é só substituir o u,v e o dv na fórmula de integração por partes
Substituindo
 
Passando o 1/5 fora da integral e aplicando a substituição no sen(5x)dx, a gente pode concluir que :

EXERCÍCIO 4 


É muito recomendável entender este exercício que vamos aprender agora,porque ele ilustra uma outra maneira de calcular integral aplicando duas vezes a fórmula de integração por partes. "Força e Coragem "

- temos que escolher o u e a outra função vamos chamar de dv e de acordo com a nossa tabela acima, o u tem que ser a algébrica que vai ser(x ao quadrado) e o dv vai ser a exponencial.

Achar o du
Agora vamos encontrar o v através de dv

A gente pode notar que precisamos aplicar o método da substituição para encontrar o v porque não temos essa integral na tabela:
Substituindo na integral do v,teremos :
Agora vamos passar o 2 para fora da integral e utilizar o conceito de que a integral de uma exponencial é ela mesma.
Agora vamos substituir o u,du e dv na fórmula de integração
Para calcular a integral no membro direito da última equação, devemos novamente integrar por partes.
Essa nova integral vamos chamar de A.1
Chamando a nova integral de A.1 a integral A fica :
Calculando a integral A.1, vem:
E o nosso dv será :
Para encontrarmos o valor de v temos que aplicar a substituição de variáveis u.du (como nos exercícios anteriores),teremos :

Substituindo na integral A.1
Na integral no membro direito da última equação, passamos o 1/2 pra fora e aplicamos novamente a substituição no Euler elevado a 2x.
Então temos que A.1 será :
Finalmente podemos substituir na integral A o resultado de A.1
Assim teremos :


EXERCÍCIO 5
- temos que escolher o u e a outra função vamos chamar de dv.
A outra função que chamaremos de dv será :
Já que o V é igual a Euler na menos 1, temos que aplicar substituição (" não temos essa função na tabela de integrais")
depois de achar o u e du, teremos que V será igual:
Substituindo o u,v e dv na fórmula de integração fica :
Continuando...
Para calcular a integral no membro direito da última equação, devemos novamente integrar por substituição,do mesmo jeito que a gente fez a pouco tempo, então:



EXERCÍCIO 6
Vamos dar um jeito de botar nessa fórmula
O primeiro passo para botar nessa fórmula é escolher adequadamente o u . Para isto a gente deve simplesmente obedecer a tabela LIATE .

De acordo com a tabela a nossa função logarítmica(ln)será o nosso u e a outra função, no caso a função raiz de x vai ser o dv
Agora vamos encontrar o v através do dv
Vamos integrar o dv para encontrar o v
Substituindo o u,v e dv teremos
Continuando...
Ao simplificar o x , tem que subtrair os expoentes
Já já a gente termina rsrs
Bons estudos !

Foi útil ? Ajude a crescer ,clique no G+1 para recomendar isto publicamente

Comentários

  1. Muito bom, obrigada!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Nós é que agradecemos a sua visita...volte sempre e curta nossa página no Facebook

      Excluir
  2. Respostas
    1. Ficamos felizes por isso ...Valeu

      Excluir
  3. Obrigada! Me ajudou bastante!

    ResponderExcluir
  4. Muito bom o material, ajudou bastante!

    Só gostaria de saber no exercício 3 pq ficou "+cos5x/25". Eu com minhas burrices não saquei esse 25 rs

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Obrigado por comentar! vamos lá.

      Se aplicarmos o método da substituição na última integral que é a do sen(5x)dx teremos : u=5x , du=5dx...passando o 5 no outro membro fica : du/5=dx ...depois de substituir o u e o dx no próximo passo temos que calcular a integral de senudu que é -cosu ,como o sinal que antecede a integral é negativo,teremos negativo com negativo que vai dar positivo.

      Excluir
  5. Não respondeu a pergunta dele, O porquê do 25?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Já respondi,pode conferir ...Obrigado

      Excluir
  6. Já compartilhei no meu face: Muito top!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Ótimo....Agradecemos seu feedback

      Excluir
  7. show de bola! muito bom, virei fã do site!

    ResponderExcluir

Postar um comentário

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...

Postagens mais visitadas deste blog

Exercícios resolvidos de provas sobre média ,mediana e moda

A média , mediana e moda,são medidas de posição ou medidas de tendencia central que fazem parte de um ramo muito importante da estatística, que é a estática descritiva .

A Estatística Descritiva permite-nos resumir, descrever e compreender os dados de uma distribuição usando medidas de tendência central (média, mediana e moda) e medidas de dispersão (valores mínimo e máximo, desvio padrão e variância).

Muitas vezes , a média ,ela é um pouco injusta com a gente sabe porquê ?


Imagine o seguinte : Estamos em uma festa com duas pessoas(Pedro e Niko ) e só tem 2 bifes . Só que acontece o seguinte : o pedro por ser guloso vai escondido e come os 2 bifes...Em media ,cada um deles comeu um bife porque a média diz-nos que havia um bife para cada pessoa mas não nos diz como é que os bifes foram distribuídos.

Esta é uma das razões pelas quais os dados estatísticos que se apresentam em relatórios de investigação terem frequentemente duas ou mais medidas descritivas associadas. Por exemplo, o valo…

Exercícios resolvidos de provas sobre espaço amostral e probabilidade de um evento

Esta lista de exercícios , é resultado de um estudo amplo com o objetivo de descomplicar a análise de espaço amostral e probabilidade de eventos sem utilizar aqueles métodos como Diagrama em árvore e tabela de dupla entrada (produto cartesiano) que muitos professores utilizam para dificultar um pouco o entendimento de probabilidade.

Os exercícios estão divididos em 3 seções : Seção de exercícios Básicos ,Seção de exercícios com um certo grau de dificuldade e uma seção sobre prova teste ou simulado.

Definições

Espaço amostral (S) 
É o espaço de amostragem de todos os elementos de um experimento probabilístico .
Por exemplo: no lançamento de uma moeda,os elementos pertencentes a uma moeda, são : a cara e a coroa, somente é possível obter ou cara ou coroa e o nosso espaço amostral será : S={ cara, coroa }, um outro exemplo bacana é o lançamento de um dado que pegando o mesmo raciocino , todos os elementos pertencentes a um determinado dado, são os números { 1,2,3,4,5,6 } que estarão for…

Exercícios resolvidos de provas sobre derivadas aplicando as regras de diferenciação

Para calcular a derivada de uma função que seja derivável, em determinado ponto do seu domínio, podemos sempre usar a definição.

Mas, dependendo da função, isto pode significar bastante trabalho e pode ser evitado usando regras de diferenciação, evitando assim complicados cálculos de limites.

Em que consistem as regras de derivação ?
Resumidamente podemos afirmar que se o cálculo de derivadas usando a definição é meio complexo e gasta mais tempo , usando as regras de diferenciação as coisas ficam um pouco mais tranquilas devido a rapidez na execução e obtenção dos resultados.

Entretanto, aplicar as regras de derivação consiste em usar estes conhecimentos para, a partir das derivadas de funções mais simples, determinar as derivadas de funções que delas se obtêm por meio das operações.

Simbologia
A derivada de uma função f, na variável x , é uma função, que representamos por f ' .
Regras a seguir :
Sejam f e g funções diferenciáveis : 
Está regra afirma que a derivada de uma constante…

Tudo sobre integrais definidas e exercícios resolvidos com comentários

Definição

A Integral definida é um tipo de integral que tem um valor inicial que denominamos de limite inferior e um valor final que chamamos de limite superior . Resumidamente a integral definida entre a e b é a integral indefinida em b menos a integral indefinida em a .

Teorema fundamental do cálculo
Muitas vezes , a gente ouve falar do teorema fundamental do cálculo e tem dificuldade de entender, porque nem todo professor tem paciência de explicar todo esse trem , mas vamos nessa !
O teorema fundamental do cálculo é a base das duas operações centrais do cálculo, diferenciação e integração, que são inversas uma da outra . Isto quer dizer que se uma função contínua é primeiramente integrada e depois diferenciada (ou vice-versa), volta-se na função original. 
Exemplo :Seja f(x)=2x, Calcule a sua integral  e derive o  resultado para chegar a função original 2x.
Sabendo que a constante c é um número , vamos derivar o resultado para chegar no função original.
Depois dessa demonstração , …

Exercícios resolvidos de provas com comentários sobre distribuição binomial

"Em nossas loucas tentativas, renunciamos ao que somos pelo que esperamos ser".William Shakespeare

Antes de entrar no assunto principal vamos entender o que é fatorial de um número que tem como simbolo o n!

Na matemática, o fatorial de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida por Christian Kramp em 1808.

Exemplo: Calcule o fatorial dos números 0,1,2,3,4 e 5 .

Solução

0! = 1
1! = 1
2! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120.

Observação: O zero não entra nesta definição, pois se multiplicarmos todo o produto de n até 1 por zero teremos zero como resultado.


O que é uma distribuição binomial?

Em estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade do número de sucessos numa sequência de n tentativas.

O que devemos saber sobre essa distribuição?

Vamos entender as caraterísticas de um experimento binomial

Um experimento binomial é um ensaio estatíst…