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Exercícios resolvidos de provas sobre derivadas aplicando as regras de diferenciação

Para calcular a derivada de uma função que seja derivável, em determinado ponto do seu domínio, podemos sempre usar a definição.

Mas, dependendo da função, isto pode significar bastante trabalho e pode ser evitado usando regras de diferenciação, evitando assim complicados cálculos de limites.

Em que consistem as regras de derivação ?

Resumidamente podemos afirmar que se o cálculo de derivadas usando a definição é meio complexo e gasta mais tempo , usando as regras de diferenciação as coisas ficam um pouco mais tranquilas devido a rapidez na execução e obtenção dos resultados.

Entretanto, aplicar as regras de derivação consiste em usar estes conhecimentos para, a partir das derivadas de funções mais simples, determinar as derivadas de funções que delas se obtêm por meio das operações.

Simbologia

A derivada de uma função f, na variável x , é uma função, que representamos por f ' .

Regras a seguir :

Sejam f e g funções diferenciáveis : 

Está regra afirma que a derivada de uma constante é nula.

Exemplo : seja f(x)=4 ,a sua derivada f ' (x)  será = 0

Está regra afirma que a derivada de uma função potencia é igual ao expoente vezes a função elevada ao expoente menos um .

Exemplo : seja f(x)=x^4 ,a sua derivada f ' (x)  será = 4x^3
Está regra afirma que a derivada de uma constante multiplicando uma função é igual a própria constante vezes a derivada da função.

Exemplo : seja f(x)=2x^4 ,a sua derivada f ' (x)  será =2. 4x^3 = 8x^3
Está regra afirma que :
A derivada da soma  é igual a soma das  derivadas e do mesmo jeito , a derivada da diferença é igual a diferença das derivadas .

Exemplo: seja f(x)= 2x^2 + 4x, a sua derivada f ' (x) =2.2x +4 =4x +4

Está regra afirma que a derivada do produto é igual ao primeiro a derivar vezes o segundo sem derivar + o primeiro sem derivar vezes o segundo a derivar :

Exemplo: seja f(x)= 2x^2 . 4x, a sua derivada será : f '(x) = (2x^2)'.4x +2x^2 .(4x)'=4x.4x+2x^2 .4 . Isso quer dizer que f '(x) = 16x^2 + 8x^2 =24x^2


Está regra é universalmente conhecida como sendo a regra do quociente .

Está ultima regra é conhecida como sendo a regra do recíproco ,  e ela afirma que a derivada em relação a x,de uma constante dividindo  uma função , é igual a - constante vezes a derivada da função, que vai dividir a função elevada a 2.

Vale saber que a derivada de x é igual a 1 ...se f(x)=x, a sua derivada d/dx = 1

Notas importantes : 

1.No fim dos exercícios , estará uma lista de argumentos matemáticos utilizados em derivadas e integrais.

2.Temos um bloco de exercícios resolvidos e outro bloco contendo um simulado.

Bloco  I 

Utilizando as técnicas de derivação , derive as funções a seguir :
Exemplo 1
Solução

De acordo com a primeira regra , a derivada de uma constante é nula , portanto :

Exemplo 2

Solução 

Para calcular a derivada dessa função , vamos aplicar a regra de derivadas para uma função potência e para uma constante .


Exemplo 3

Solução

Exemplo 4

Solução
A primeira coisa a fazer é reescrever a função dada

Agora vamos calcular 

Finalizando 

Exemplo 5

Solução


Exemplo 6 

Solução

Temos uma multiplicação de duas funções e para dar solução a este exercício vamos aplicar a regra do produto , mas antes disso vamos reescrever a função

A regra do produto  afirma que a derivada do produto de duas funções é igual ao primeiro a derivar vezes o segundo sem derivar + o primeiro sem derivar vezes o segundo a derivar
Continuando...

O exercício está ficando bonito

Continuando ...

Finalizando o exercício teremos :
Exemplo 7
Solução

Temos uma multiplicação de duas funções e para dar solução a este exercício ,vamos aplicar a regra do produto conhecida como a quinta regra do nosso formulário.

Substituindo , teremos :

Continuando o exercício 

Finalizando , teremos :

Exemplo 8

Solução

Podemos notar que estamos diante de um exercício que envolve divisão de funções e para isto devemos utilizar a regra do quociente 
Substituindo ,teremos :

Continuando ...

Finalizando o exercício, teremos :

Exemplo 9

Solução

Antes de aplicar a regra de derivadas , vamos reescrever a função  para melhor entendimento 

Continuando...

Finalizando ...

Exemplo 10

Solução

A derivada da soma  é igual a soma das  derivadas , então :

Continuando...

Finalizando ...
Exemplo 11
Solução

Estamos diante de uma constante[1],que está dividindo uma função[2x+1], ou seja, temos que aplicar a regra do recíproco .

A expressão está ficando linda né ? basta conhecer  as regras 

Exemplo 12

Solução

Sabendo que derivada de sen(x) é cos(x) e de cos(x) é -sen(x), teremos :

Exemplo 13

Solução

Temos uma divisão de funções,  e para todos os casos em que isto acontece devemos utilizar a regra do quociente .
A derivada de cosx é igual a -senx ..a função cotgx tem como derivada - csc ao quadrado

Continuando o exercício , podemos concluir que :


Argumentos matemáticos 

O primeiro e o segundo argumento são aplicados em exercícios contendo uma raiz 
O terceiro e o quarto também são argumentos  aplicados em muitos exercícios

Bloco II  Simulado

Exercício 1
SOLUÇÃO

Exercício 2

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Solução

0! = 1
1! = 1
2! = 2.1 = 2
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4! = 4.3.2.1 = 24
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