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Tudo sobre derivada da função logarítmica natural e exercícios resolvidos

A  função logarítmica natural tem como abreviação , a expressão ln(x) chamada de logaritmo natural de x .

Observação : não existe logaritmo natural de zero ,ou de um número negativo.

A derivada da função ln é  :

Se u = g(x), temos que utilizar a regra da cadeia :

E de igual modo...

A expressão d/dx , f '(x) ou y '(x): lê-se, derivada da função em relação a x


Exemplo 1

 Se f(x) = ln(x^2 -6) , determine f '(x)

Solução
Finalizando o exercício , teremos :

Exemplo 2

Determine y' se :


Solução

Vamos reescrever a função dada
Agora vamos aplicar a regra da cadeia 

Continuando ...

Se f(x)= x^-a podemos reescrever a função como sendo f(x) = 1/ x^a então :

Podemos ter que :

Finalizando o exercício, teremos :

Lei dos logaritmos 

Se p >0 e q >0

I-  ln(p.q) = ln p + ln q
II-  ln(p/q) = ln p - ln q
III-  ln p^r = r.ln p para todo número racional r


Exemplo 3

Solução

A primeira coisa a fazer , é reescrever a função
Aplicando a lei dos logaritmos , teremos :
Continuando...

Diferenciando a função, teremos
Finalizando o exercício, teremos :

Exemplo 4

Calcule f '(x) ´para a função dada:


Solução
Continuando o exercício , teremos:

Já que todo número multiplicado por 1 é igual a ele mesmo , vem que :

Exercícios propostos : Determine f '(x) se :


Dica : você tem que saber que diferenciando cos u, teremos que vai ser = - sen u . u'

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Solução

0! = 1
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