Pular para o conteúdo principal

Tudo sobre exercícios resolvidos de derivadas utilizando a definição de limites

Em matemática , o conceito de derivada é usado para descrever a inclinação do gráfico de uma dada função, para um dado valor de x. Também pode ser interpretada como o quanto y varia em função de x.


Resumidamente : A derivada de uma função f(x) pode ser definida como sendo outra função f '(x) [lê-se f linha] onde : 


Exemplo 1

Use a definição de derivada para calcular a derivada f ' (x), para :

Solução

O primeiro passo é calcular f (x+h) para isto, temos que substituir cada x que está na função por x+h

Desenvolvendo ...

Já que podemos notar que f(x) é a função dada no exercício , temos que substituir o f(x+h) -f(x) , na fórmula :

Continuando...podemos eliminar o x^2 com o -x^2 e o +1 com o - 1  porque a soma deles dá zero 

Agora vamos colocar o h em evidência e depois substituir o h tendendo a 0

Exemplo 2


a)  derivada f ' (x)
b)  f ' (4)

Solução a)

O primeiro passo é calcular f (x+h) para isto, temos que substituir cada x que está na função por x+h

Agora vamos desenvolver a função 

Continuando ..

Já que podemos notar que f(x) é a função dada no exercício , temos que substituir o f(x+h) -f(x) , na seguinte fórmula :
Substituindo
Continuando...podemos eliminar o 3x^2 com o -3x^2 e o +8 com o - 8, bem como o -12x e o +12x  porque a soma deles dá zero.
Já que colocamos o h em evidência, teremos :
Solução b)

Levando o valor de x = 4 em f ' (x)= 6x-12 , teremos :

f ' (4) = 6*4 -12 = 12

Exemplo 3

Se y = 3x^2 - 12x + 8 , use o resultado do exemplo 2 para determinar 

3.1 - o coeficiente angular da tangente ao gráfico desta equação no ponto p (3, 1).

3.2 - o ponto do gráfico em que a tangente é horizontal .

Solução 3.1

Se  f(x)=3x^2 -12x + 8 , o coeficiente angular da tangente em [x , f(x)] será :
f ' (x) = 6x - 12 

Para a gente calcular o coeficiente angular da tangente no ponto p(3,1) será:

f '(3)= 6*3 -12 = 6 
Obs: podemos notar que o ponto p(3,1) significa que x= 3 e y =1

Solução 3.2

A tangente sempre vai ser horizontal se f '(x) = 0, portanto : 
6x-12= 0, obtendo  x= 12/6 = 2

Agora vamos substituir o x = 2 em y = 3x^2 - 12x +8 ,ou seja, y= -4 
Logo , a tangente é horizontal em Q(2 , -4)

Exemplo 4

Solução

O primeiro passo é calcular f (x+h) para isto, temos que substituir cada x que está na função por x+h
Já que podemos notar que f(x) é a função dada no exercício , temos que substituir o f(x+h) -f(x) , na seguinte fórmula :

Substituindo teremos :

Para a gente conseguir seguir em frente tem que utilizar a técnica de racionalização de frações
Continuando ...

Partindo do principio de que o 2 (expoente) cancela a raiz ,teremos :

Agora podemos dividir o h do numerador pelo h do denominador que vai ser igual a 1

Finalmente 

Exemplo 5

Solução

O primeiro passo é calcular f (x+h) para isto, temos que substituir cada x que está na função por x+h
Já que podemos notar que f(x) é a função dada no exercício , temos que substituir o f(x+h) -f(x) , na seguinte fórmula :
Continuando...

Agora vamos desenvolver as funções e simplificar 

O exercício está bonitinho , só falta mais um pouco

Continuando...

Finalizando, teremos :



Comentários

  1. obrigado me ajudou muito a organizar eu sempre erro ao substituir p valor de x mas com a vossa ajuda acabei entendendo tudo

    ResponderExcluir

Postar um comentário

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...

Postagens mais visitadas deste blog

Exercícios resolvidos de provas sobre média ,mediana e moda

A média , mediana e moda,são medidas de posição ou medidas de tendencia central que fazem parte de um ramo muito importante da estatística, que é a estática descritiva .

A Estatística Descritiva permite-nos resumir, descrever e compreender os dados de uma distribuição usando medidas de tendência central (média, mediana e moda) e medidas de dispersão (valores mínimo e máximo, desvio padrão e variância).

Muitas vezes , a média ,ela é um pouco injusta com a gente sabe porquê ?


Imagine o seguinte : Estamos em uma festa com duas pessoas(Pedro e Niko ) e só tem 2 bifes . Só que acontece o seguinte : o pedro por ser guloso vai escondido e come os 2 bifes...Em media ,cada um deles comeu um bife porque a média diz-nos que havia um bife para cada pessoa mas não nos diz como é que os bifes foram distribuídos.

Esta é uma das razões pelas quais os dados estatísticos que se apresentam em relatórios de investigação terem frequentemente duas ou mais medidas descritivas associadas. Por exemplo, o valo…

Exercícios resolvidos de provas sobre espaço amostral e probabilidade de um evento

Esta lista de exercícios , é resultado de um estudo amplo com o objetivo de descomplicar a análise de espaço amostral e probabilidade de eventos sem utilizar aqueles métodos como Diagrama em árvore e tabela de dupla entrada (produto cartesiano) que muitos professores utilizam para dificultar um pouco o entendimento de probabilidade.

Os exercícios estão divididos em 3 seções : Seção de exercícios Básicos ,Seção de exercícios com um certo grau de dificuldade e uma seção sobre prova teste ou simulado.

Definições

Espaço amostral (S) 
É o espaço de amostragem de todos os elementos de um experimento probabilístico .
Por exemplo: no lançamento de uma moeda,os elementos pertencentes a uma moeda, são : a cara e a coroa, somente é possível obter ou cara ou coroa e o nosso espaço amostral será : S={ cara, coroa }, um outro exemplo bacana é o lançamento de um dado que pegando o mesmo raciocino , todos os elementos pertencentes a um determinado dado, são os números { 1,2,3,4,5,6 } que estarão for…

Exercícios resolvidos de provas sobre derivadas aplicando as regras de diferenciação

Para calcular a derivada de uma função que seja derivável, em determinado ponto do seu domínio, podemos sempre usar a definição.

Mas, dependendo da função, isto pode significar bastante trabalho e pode ser evitado usando regras de diferenciação, evitando assim complicados cálculos de limites.

Em que consistem as regras de derivação ?
Resumidamente podemos afirmar que se o cálculo de derivadas usando a definição é meio complexo e gasta mais tempo , usando as regras de diferenciação as coisas ficam um pouco mais tranquilas devido a rapidez na execução e obtenção dos resultados.

Entretanto, aplicar as regras de derivação consiste em usar estes conhecimentos para, a partir das derivadas de funções mais simples, determinar as derivadas de funções que delas se obtêm por meio das operações.

Simbologia
A derivada de uma função f, na variável x , é uma função, que representamos por f ' .
Regras a seguir :
Sejam f e g funções diferenciáveis : 
Está regra afirma que a derivada de uma constante…

Tudo sobre integrais definidas e exercícios resolvidos com comentários

Definição

A Integral definida é um tipo de integral que tem um valor inicial que denominamos de limite inferior e um valor final que chamamos de limite superior . Resumidamente a integral definida entre a e b é a integral indefinida em b menos a integral indefinida em a .

Teorema fundamental do cálculo
Muitas vezes , a gente ouve falar do teorema fundamental do cálculo e tem dificuldade de entender, porque nem todo professor tem paciência de explicar todo esse trem , mas vamos nessa !
O teorema fundamental do cálculo é a base das duas operações centrais do cálculo, diferenciação e integração, que são inversas uma da outra . Isto quer dizer que se uma função contínua é primeiramente integrada e depois diferenciada (ou vice-versa), volta-se na função original. 
Exemplo :Seja f(x)=2x, Calcule a sua integral  e derive o  resultado para chegar a função original 2x.
Sabendo que a constante c é um número , vamos derivar o resultado para chegar no função original.
Depois dessa demonstração , …

Exercícios resolvidos de provas com comentários sobre distribuição binomial

"Em nossas loucas tentativas, renunciamos ao que somos pelo que esperamos ser".William Shakespeare

Antes de entrar no assunto principal vamos entender o que é fatorial de um número que tem como simbolo o n!

Na matemática, o fatorial de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida por Christian Kramp em 1808.

Exemplo: Calcule o fatorial dos números 0,1,2,3,4 e 5 .

Solução

0! = 1
1! = 1
2! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120.

Observação: O zero não entra nesta definição, pois se multiplicarmos todo o produto de n até 1 por zero teremos zero como resultado.


O que é uma distribuição binomial?

Em estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade do número de sucessos numa sequência de n tentativas.

O que devemos saber sobre essa distribuição?

Vamos entender as caraterísticas de um experimento binomial

Um experimento binomial é um ensaio estatíst…