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Tudo sobre integrais definidas e exercícios resolvidos com comentários

Definição

A Integral definida é um tipo de integral que tem um valor inicial que denominamos de limite inferior e um valor final que chamamos de limite superior . Resumidamente a integral definida entre a e b é a integral indefinida em b menos a integral indefinida em a .

Teorema fundamental do cálculo

Muitas vezes , a gente ouve falar do teorema fundamental do cálculo e tem dificuldade de entender, porque nem todo professor tem paciência de explicar todo esse trem , mas vamos nessa !

O teorema fundamental do cálculo é a base das duas operações centrais do cálculo, diferenciação e integração, que são inversas uma da outra . Isto quer dizer que se uma função contínua é primeiramente integrada e depois diferenciada (ou vice-versa), volta-se na função original. 

Exemplo :Seja f(x)=2x, Calcule a sua integral  e derive o  resultado para chegar a função original 2x.

Sabendo que a constante c é um número , vamos derivar o resultado para chegar no função original.

Depois dessa demonstração , podemos afirmar que o teorema foi provado e comprovado.

Esse teorema fundamental  afirma que :

Se f for continua em [a,b] e se F for uma antiderivada de f em [a,b] então :



Lembre-se que, quando falamos de uma antiderivada para uma função, estamos realmente falando sobre a integral indefinida para a função.

Diferenças entre uma integral indefinida e definida

A integral indefinida e a integral definida se diferem em dois aspetos :

- A integral indefinida não possui limites de integração que são os valores a e b, enquanto que essa é uma caraterística da integral definida;

- O resultado final de uma integral indefinida é uma função ex : integral de 3dx = 3x  ,enquanto que o resultado final de uma integral definida é um número ex: 27 .

Aplicações da integral definida  

A integral definida possui as seguintes  aplicações :
Cálculo de Área, volume por anéis cilíndricos , sólidos de revolução e etc.

Exemplo 1
Solução

Primeiro vamos calcular a antiderivada de x e depois substituir os 2 limites de integração
Continuando o exercício , vem :

Exemplo 2


Solução

Como temos uma soma no numerador vamos separar 

Em matemática 1/x é mesma coisa que x elevado a menos 1, portanto :

Continuando...

Dando sequência no exercício teremos...

Agora vamos substituir os limites [1,4]


Exemplo 3

Solução

A primeira coisa a fazer é passar a constante para fora da integral e depois vamos passar a raiz do x como x elevado a  menos 1/2,que é a mesma coisa.

Agora vamos seguir resolvendo...

Continuando...

Agora vamos dar um cheque-mate no exercício

Exemplo 4
Solução

Vamos colocar a constante fora da integral

Agora vamos substituir os limites


Exemplo 5

Solução

Olhando para este exercício, devemos primeiro desenvolver  o quadrado do integrando.

 Em seguida aplicamos em cada termo a regra da potência :

Substituindo , vem :

Exemplo 6


Solução

Já que a integral da soma é a soma das integrais , teremos o seguinte:

Continuando o exercício ....

Agora vamos substituir os limites de integração

Dando continuidade , teremos :

Exemplo 7
Solução

Já que o denominador é uma raiz e partindo do principio de que raiz de t ,é igual a t elevado a 1/2, teremos o seguinte :
Agora vamos multiplicar o t elevado a menos 1/2 pelo que tá dentro de parêntesis

Continuando ...

Substituindo os limites de integração, teremos :

Continuando ...

Exemplo 8

Solução


Primeiramente vamos passar o denominador no outro lado para multiplicar o numerador .

Em seguida, aplicamos em cada termo a regra da potência
Continuando...

Agora vamos substituir os limites de integração


Exemplo 9


Solução

Faça o Simulado abaixo



Comentários

  1. Pôxa, uma verdadeira aula. parece até que o professor estava em minha frente. Acho que até uma criança que sabe ler vai aprender integral.(RSRSRSRSRSRS)

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    1. Rrsrsrs...Agradecemos seu comentário...volte sempre !

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  2. Como calcula esse exercício? A utilização de um certo equipamento gera uma receita a uma taxa de R(x) unidades monetárias por mês, após terem decorridos x meses da sua instalação,e R(x) = 1.400 − 2x². Se o custo de operação e manutenção do equipamento for C(x) unidades monetárias por mês, onde C(x) = 200 + x², ache o lucro obtido com a utilização do equipamento durante 20 meses. Represente graficamente a região do lucro.

    ResponderExcluir
  3. Como calcula esse exercício? Para um certo mercado comprador varejista está determinado que se x for o número diário de comerciais na televisão y for o número de minutos de duração de cada comercial e z for o número de unidades vendidas diariamente, então z = 2xy² + x² + 9.000. Suponha que no momento presente haja 12 comerciais, cada um com um minuto de duração por dia. Encontre a taxa de variação instantânea de z por unidade de variação em x se y permanecer fixo em 1.

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  4. Como calcula esse exercício? O administrador de uma rede de casas noturnas recebeu uma remessa de um certo gênero alimentício toda segunda-feira. Como a freqüência é baixa no começo da semana e alta no fim de semana, a demanda aumenta com o decorrer dos 7 dias; assim, após x dias o estoque é de y unidades, onde y = 49.000 – 1.000x². Se o armazenamento diário custa R$ 0,03 por unidade, encontre o custo total para manter o estique por 7 dias.

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  5. Parabéns colegas!
    Muito bem apresentado e bem detalhado.

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    Respostas
    1. Opa! que bom colega...Obrigado pelo feedback. Seu reconhecimento é o combustível para esse trabalho

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Solução

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