Pular para o conteúdo principal

Exercícios resolvidos sobre cálculo de área em integrais Definidas

O teorema de integral definida para o cálculo de área , diz que :

Se  f e g são funções definidas e contínuas em [a, b] e tais que  f (x) ≥ g(x),  . Então a área da região A limitada pelos gráficos de f(x) e g(x) e pelas retas x = a e x = b é dada por:

Graficamente 

Seção de exercícios 

Determine a área limitada pelas curvas 

Exercício 1
Solução

Primeiro ,vamos calcular as raízes (pontos de interseção) igualando as duas funções :

Sempre que temos uma situação como essa, devemos colocar o expoente 2 nas duas funções.
 
Agora, vamos ter que entender o gráfico de cada função envolvida

Representando graficamente as curvas, teremos :

Calculando a área 

Exercício 2

Solução

Vamos calcular as raízes (pontos de interseção) igualando as duas funções :
Chegamos numa equação do segundo grau , e vamos utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes ou pontos de interseção (x1 e x2).

De acordo com a nossa equação ... a = 1 ; b = -1 ; c = - 6 

Já que calculamos as raízes ,agora vamos ter que entender o gráfico de cada função envolvida

Representando graficamente as curvas, teremos :
Calculando a área , teremos :

Exercício 3

Encontre a área limitada por :

Solução

Vamos calcular as raízes (pontos de interseção) igualando as duas funções :

Chegamos numa equação do segundo grau , e vamos utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes ou pontos de interseção (x1 e x2).
De acordo com a nossa equação ... a = 1 ; b = -1 ; c = - 2 


Representando graficamente as curvas, teremos :

Calculando a área , teremos :

Exemplo 4

Solução

Primeiramente, vamos achar as raízes ou pontos de interseção da função, igualando a zero.

Agora sim, vamos representar graficamente a função

Calculando a área, teremos:


Exemplo 5


 Determinar a área limitada pelas curvas 

Solução

Vamos achar as raízes ou pontos de interseção da função, igualando as duas funções

Agora  vamos representar graficamente a função

Calculando a área, teremos:

Exemplo 6

Determine a área da região limitada pelo gráfico da função f(x) = 4x+3, pelas retas x = -1 e x = 4 e pelo eixo x. Indique a região graficamente .

Solução

No exercício já temos as retas, o que significa, que não vamos precisar calcular a raiz dessa função .

Representando graficamente a função dada, teremos :

Calculando a área, teremos:



Comentários

  1. Otima explicação!!! Me ajudou muuuuito!!!!

    ResponderExcluir
  2. está muito claro... Bom trabalho!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Obrigado pelo feedback...volte sempre que precisar

      Excluir
  3. Parabéns! Muito didático. Ajudou muito!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Obrigado pelo feedback...seu reconhecimento é nossa maior alegria ✌️

      Excluir
  4. Muito boa didática, mas ooderia botar uma bem dificil pra encerrar.

    ResponderExcluir
  5. Parabéns pelo trabalho, sempre esclarecedor

    ResponderExcluir
  6. Pergunta : No exemplo 6 , a função y = 4x + 3 cortaria o eixo x em -3/4. Logo , em x = -1 teremos a reta abaixo de do eixo x, ou seja, negativa. Portanto, não deveríamos calculas duas integrais, sendo uma -Int de -1 a -3/4 de y + Int de -3/4 a 4 de y ?
    É só uma duvida que ficou mesmo. Todavia, me ajudou muito já. Desde já agradeço.

    ResponderExcluir

Postar um comentário

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...

Postagens mais visitadas deste blog

Exercícios resolvidos de provas sobre média ,mediana e moda

A média , mediana e moda,são medidas de posição ou medidas de tendencia central que fazem parte de um ramo muito importante da estatística, que é a estática descritiva .

A Estatística Descritiva permite-nos resumir, descrever e compreender os dados de uma distribuição usando medidas de tendência central (média, mediana e moda) e medidas de dispersão (valores mínimo e máximo, desvio padrão e variância).

Muitas vezes , a média ,ela é um pouco injusta com a gente sabe porquê ?


Imagine o seguinte : Estamos em uma festa com duas pessoas(Pedro e Niko ) e só tem 2 bifes . Só que acontece o seguinte : o pedro por ser guloso vai escondido e come os 2 bifes...Em media ,cada um deles comeu um bife porque a média diz-nos que havia um bife para cada pessoa mas não nos diz como é que os bifes foram distribuídos.

Esta é uma das razões pelas quais os dados estatísticos que se apresentam em relatórios de investigação terem frequentemente duas ou mais medidas descritivas associadas. Por exemplo, o valo…

Exercícios resolvidos de provas sobre espaço amostral e probabilidade de um evento

Esta lista de exercícios , é resultado de um estudo amplo com o objetivo de descomplicar a análise de espaço amostral e probabilidade de eventos sem utilizar aqueles métodos como Diagrama em árvore e tabela de dupla entrada (produto cartesiano) que muitos professores utilizam para dificultar um pouco o entendimento de probabilidade.

Os exercícios estão divididos em 3 seções : Seção de exercícios Básicos ,Seção de exercícios com um certo grau de dificuldade e uma seção sobre prova teste ou simulado.

Definições

Espaço amostral (S) 
É o espaço de amostragem de todos os elementos de um experimento probabilístico .
Por exemplo: no lançamento de uma moeda,os elementos pertencentes a uma moeda, são : a cara e a coroa, somente é possível obter ou cara ou coroa e o nosso espaço amostral será : S={ cara, coroa }, um outro exemplo bacana é o lançamento de um dado que pegando o mesmo raciocino , todos os elementos pertencentes a um determinado dado, são os números { 1,2,3,4,5,6 } que estarão for…

Exercícios resolvidos de provas sobre derivadas aplicando as regras de diferenciação

Para calcular a derivada de uma função que seja derivável, em determinado ponto do seu domínio, podemos sempre usar a definição.

Mas, dependendo da função, isto pode significar bastante trabalho e pode ser evitado usando regras de diferenciação, evitando assim complicados cálculos de limites.

Em que consistem as regras de derivação ?
Resumidamente podemos afirmar que se o cálculo de derivadas usando a definição é meio complexo e gasta mais tempo , usando as regras de diferenciação as coisas ficam um pouco mais tranquilas devido a rapidez na execução e obtenção dos resultados.

Entretanto, aplicar as regras de derivação consiste em usar estes conhecimentos para, a partir das derivadas de funções mais simples, determinar as derivadas de funções que delas se obtêm por meio das operações.

Simbologia
A derivada de uma função f, na variável x , é uma função, que representamos por f ' .
Regras a seguir :
Sejam f e g funções diferenciáveis : 
Está regra afirma que a derivada de uma constante…

Tudo sobre integrais definidas e exercícios resolvidos com comentários

Definição

A Integral definida é um tipo de integral que tem um valor inicial que denominamos de limite inferior e um valor final que chamamos de limite superior . Resumidamente a integral definida entre a e b é a integral indefinida em b menos a integral indefinida em a .

Teorema fundamental do cálculo
Muitas vezes , a gente ouve falar do teorema fundamental do cálculo e tem dificuldade de entender, porque nem todo professor tem paciência de explicar todo esse trem , mas vamos nessa !
O teorema fundamental do cálculo é a base das duas operações centrais do cálculo, diferenciação e integração, que são inversas uma da outra . Isto quer dizer que se uma função contínua é primeiramente integrada e depois diferenciada (ou vice-versa), volta-se na função original. 
Exemplo :Seja f(x)=2x, Calcule a sua integral  e derive o  resultado para chegar a função original 2x.
Sabendo que a constante c é um número , vamos derivar o resultado para chegar no função original.
Depois dessa demonstração , …

Exercícios resolvidos de provas com comentários sobre distribuição binomial

"Em nossas loucas tentativas, renunciamos ao que somos pelo que esperamos ser".William Shakespeare

Antes de entrar no assunto principal vamos entender o que é fatorial de um número que tem como simbolo o n!

Na matemática, o fatorial de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida por Christian Kramp em 1808.

Exemplo: Calcule o fatorial dos números 0,1,2,3,4 e 5 .

Solução

0! = 1
1! = 1
2! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120.

Observação: O zero não entra nesta definição, pois se multiplicarmos todo o produto de n até 1 por zero teremos zero como resultado.


O que é uma distribuição binomial?

Em estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade do número de sucessos numa sequência de n tentativas.

O que devemos saber sobre essa distribuição?

Vamos entender as caraterísticas de um experimento binomial

Um experimento binomial é um ensaio estatíst…