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Tudo sobre limites de funções e exercícios resolvidos


Esta lista de exercícios , foi elaborada com o objetivo de acrescentar uma noção mais intuitiva sobre o estudo de limites.

 Todos os exercícios foram resolvidos obedecendo as suas respectivas propriedades e , divididos em duas Seções .

Nota importante

O conceito de Limite é fundamental em todo o Cálculo Diferencial e Integral, um campo da Matemática que se iniciou no século XVII com os trabalhos de Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716) para resolver problemas de Mecânica e Geometria.

O Cálculo Diferencial e Integral é aplicado em vários campos, como em Astronomia, Engenharia, Física, Química, Geologia, Biologia etc.

SEÇÃO Nº 1

A cada propriedade que a gente vai estudar , vamos passar alguns exemplos de aplicação .

Propriedades dos limites :

Limite de uma constante [1ª propriedade]

O limite de uma constante é a própria constante , isto é :

Exemplos

Limite da soma [ 2ª propriedade]

O limite da soma de duas funções é igual à soma dos limites dessas funções , isto é :
Onde : a e b são os resultados dos limites e x0 uma variável  que representa um número real qualquer.

Exemplos
De uma forma mais rápida e objetiva ,podemos chegar ao resultado sem utilizar as propriedades 

O estudo de limites deve ser levado muito à sério , porque será muito importante no momento que o você estudar Derivadas de funções 

Limite da diferença [ 3ª propriedade]

O limite da diferença de duas funções é igual à diferença dos limites dessas funções ,isto é:

Exemplos



Limite do produto [ 4ª propriedade]

O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções, isto é:
Exemplos



Limite do quociente [ 5ª propriedade]

O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções (exceto quando o limite do divisor for igual a zero), isto é:

Exemplos


Limite de uma potência [ 6ª propriedade]

O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência enésima do limite dessa função, isto é:
Exemplos


Limite de uma raiz [ 7ª propriedade]

O limite da raiz enésima de uma função é igual à raiz enésima do limite dessa função, isto é:

Exemplos


Limite do Logaritmo [ 8ª propriedade]

O limite do logaritmo de uma função é igual ao logaritmo do limite dessa função, isto é:

Exemplo

SEÇÃO Nº 2

Use as propriedades sobre limites para determinar o limites das seguintes funções :

Exercício 1
Solução


Exercício 2


Solução

Aplicando a 6ª propriedade ,teremos que :
Exercício 3


Solução

Aplicando a 4ª propriedade ,teremos que :
Vale ressaltar que o 2 cancelou a raiz .

Exercício 4


Solução

Aplicando a 5ª propriedade ,vem que :
Exercício 5

Calcule, caso exista, o limite dado a seguir :

Solução
Se no cálculo do limite de um quociente de funções, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, diz-se que tal limite é uma indeterminação do tipo 0/0

 Para resolver exercícios desse tipo ,temos que utilizar a regra de  L’ Hôpital .

A Regra de L’ Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual aos limites dos quocientes de suas derivadas, ou seja :
Você pode notar que diferenciamos o numerador e o denominador , para depois substituir o valor de x.


Solução


Anote aí

A Regra de L’ Hôpital é válida também para os limites laterais e para os limites no infinito ou no infinito negativo; isto é, “x → a” pode ser substituído por quaisquer dos símbolos a seguir: x → a+ , x → a- , x → ∞ ou x → - ∞. Todas as indeterminações, sejam elas na forma de produto ou de diferença, devem ser transformadas em quocientes para aplicar L’ Hôpital.

Faça o SIMULADO e teste seu conhecimento :




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Solução

0! = 1
1! = 1
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