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Teoremas da transformada de Laplace


A transformada de Laplace é um método operacional de resolução de problemas de valor inicial que permite levar a resolução de equações diferenciais à resolução de equações polinomiais, que são muito mais simples de resolver. A transformada de Laplace de uma função f(t), cuja integral existe é a função F(s).

Também pode ser definida como uma ferramenta que converte funções dependentes da variável  tempo em funções no domínio complexo. Tal conversão facilitam os cálculos de problemas eletrônicos,incluindo sistemas de controle e automação.

A transformada de Laplace tem como fórmula :

Onde :



Além da transformada de Laplace temos a sua inversa , que é conhecida como a transformada inversa de Laplace mas não é muito usual em Engenharia ,pois é substituída pelo método de separação por Frações Parciais.


Os teoremas da transformada de Laplace são : 

 1) Teorema da Derivada Real

A transformada de Laplace da derivada da função f(t) pode ser escrita :
Onde : f(0) é o valor inicial de f(t) para t = 0 .

Este teorema é utilizado, somente quando f(t) começar em zero .

Em caso de descontinuidade em t = 0, conforme a função degrau (veja a imagem abaixo) .
Separamos o teorema em duas partes :



2) Teorema do valor final

Relaciona o comportamento de regime estacionário de f(t) ao comportamente de sF(s) nas vizinhanças de s = 0 .

Esse teorema exige duas condições :



Por definição podemos escrever :



3) Teorema do valor inicial

Por definição, podemos escrever o teorema do valor inicial como sendo :


Exercício

Determine os valores inicial e final das funções dadas.





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Exemplo: Calcule o fatorial dos números 0,1,2,3,4 e 5 .

Solução

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4! = 4.3.2.1 = 24
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